Đề 2 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.

A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$

B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$

C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$

D. $\vec{n} = (2, -1, -3)$

2. Giải phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$.

A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$

B. $y = e^{-x} + Ce^{2x}$

C. $y = e^{x} + Ce^{-2x}$

D. $y = e^{x} + Ce^{2x}$

3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y'' + y = 0$.

A. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$

B. $y = C_1e^x + C_2e^{-x}$

C. $y = C_1e^x + C_2xe^{x}$

D. $y = C_1\cos(x) + C_2x\cos(x)$

4. Tính $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.

A. $e$

B. 1

C. 0

D. $\infty$

5. Giải phương trình vi phân $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$

B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$

C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$

D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$

6. Tính tích phân đường $\int_C x^2 dy$, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

7. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

8. Cho hàm $f(x) = \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \text{nếu } x \neq 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$. Tính $f'(0)$.

A. 0

B. 1

C. -1

D. Không tồn tại

9. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

C. $(0, 0)$

D. $(1, 1)$

10. Tìm eigenvalue lớn nhất của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

11. Tìm cực trị của hàm $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.

A. Cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=4$.

B. Cực tiểu tại $x=0$, cực đại tại $x=4$.

C. Cực đại tại $x=2$, cực tiểu tại $x=4$.

D. Cực tiểu tại $x=2$, cực đại tại $x=4$.

12. Tính tích phân bất định $\int x e^x dx$.

A. $xe^x - e^x + C$

B. $xe^x + e^x + C$

C. $e^x - xe^x + C$

D. $-xe^x - e^x + C$

13. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

A. 1

B. 0

C. $\infty$

D. -1

14. Tìm nghiệm của phương trình $y' = y$.

A. $y = Ce^x$

B. $y = Cx$

C. $y = C\cos(x)$

D. $y = C\sin(x)$

15. Tìm giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 1}$.

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. 0

D. $\infty$

16. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?

A. $p > 1$

B. $p < 1$

C. $p \ge 1$

D. $p \le 1$

17. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.

A. $(1, 2)$

B. $(0, 0)$

C. $(2, 1)$

D. $(1, 1)$

18. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$.

A. $(4x^2 + 2)e^{x^2 + y^2}$

B. $(4x^2 - 2)e^{x^2 + y^2}$

C. $(2x^2 + 2)e^{x^2 + y^2}$

D. $(2x^2 - 2)e^{x^2 + y^2}$

19. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 \sin(x)$.

A. $2x\sin(x) + x^2\cos(x)$

B. $2x\cos(x) + x^2\sin(x)$

C. $x^2\cos(x) - 2x\sin(x)$

D. $2x\sin(x) - x^2\cos(x)$

20. Cho $z = f(x, y)$, $x = r\cos(\theta)$, $y = r\sin(\theta)$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.

A. $\frac{\partial z}{\partial x}\cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}\sin(\theta)$

B. $\frac{\partial z}{\partial x}\sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}\cos(\theta)$

C. $\frac{\partial z}{\partial x}r\cos(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}r\sin(\theta)$

D. $\frac{\partial z}{\partial x}r\sin(\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}r\cos(\theta)$

21. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo của A.

A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

22. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.

A. $\cot(x)$

B. $\tan(x)$

C. $\frac{1}{\sin(x)}$

D. $\frac{1}{\cos(x)}$

23. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.

A. 1

B. 0

C. $\infty$

D. -1

24. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.

A. 6

B. 0

C. 1

D. 5

25. Cho hàm số $f(x, y) = xy$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm (1, 1) theo hướng của vector $\vec{v} = (1, 1)$.

A. $\sqrt{2}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

26. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.

A. 1

B. 0

C. $\infty$

D. e

27. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $\infty$

B. 0

C. 1

D. 2

28. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{7}{30}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{5}$

D. $\frac{1}{2}$

29. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ với $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$ với $f(1, 0) = 1$.

D. Hàm số đạt cực đại tại $(0, 1)$ với $f(0, 1) = 1$.

30. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Nếu $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$, thì chuỗi này như thế nào?

A. Phân kỳ

B. Hội tụ

C. Hội tụ tuyệt đối

D. Hội tụ có điều kiện