Đề 5 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Tính định thức của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$.

A. $24$

B. $12$

C. $0$

D. $36$

2. Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln(\sin(x))$.

A. $\cot(x)$

B. $\tan(x)$

C. $\frac{1}{\sin(x)}$

D. $\frac{1}{\cos(x)}$

3. Cho chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi:

A. $p > 1$

B. $p \ge 1$

C. $p < 1$

D. $p \le 1$

4. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.

A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$

B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$

C. $\vec{n} = (2, -1, -3)$

D. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$

5. Tìm nghiệm của phương trình $y''+2y'+y=0$.

A. $y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}$

B. $y=c_1e^{x}+c_2xe^{x}$

C. $y=c_1e^{-x}+c_2e^{x}$

D. $y=c_1\cos(x)+c_2\sin(x)$

6. Tính $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.

A. $e$

B. $1$

C. $0$

D. $\infty$

7. Giải phương trình $z^2 + 4 = 0$ trên tập số phức.

A. $z = \pm 2i$

B. $z = \pm 2$

C. $z = 2 \pm i$

D. $z = -2 \pm i$

8. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $0$

9. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. $4\pi$

D. $0$

10. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x} dx$.

A. $1$

B. $0$

C. $\infty$

D. $-1$

11. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Điểm dừng của hàm số này là:

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

C. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

D. $(1, 0)$ và $(-1, 0)$

12. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo của $A$ (nếu có).

A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$

D. Ma trận $A$ không có nghịch đảo.

13. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng mà hàm số nghịch biến.

A. $(1, 3)$

B. $\mathbb{R}$

C. $\emptyset$

D. $\mathbb{R} \setminus \{1, 3\}$

14. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$.

A. $2x e^{x^2 + y^2}$

B. $2y e^{x^2 + y^2}$

C. $e^{x^2 + y^2}$

D. $x^2 e^{x^2 + y^2}$

15. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.

B. Nếu $\det(A) \neq 0$ thì $A$ khả nghịch.

C. Nếu $A$ khả nghịch thì $\det(A) = 0$.

D. $A$ luôn khả nghịch.

16. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$.

A. $(1, 2)$

B. $(2, 1)$

C. $(0, 3)$

D. $(3, 0)$

17. Tính tích phân $\int_0^1 x^2 e^x dx$.

A. $e - 2$

B. $2 - e$

C. $e + 2$

D. $-e - 2$

18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $1$

19. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $\infty$

B. $0$

C. $1$

D. $e$

20. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.

A. $(1, 2)$

B. $(0, 0)$

C. $(2, 1)$

D. $(-1, -2)$

21. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$

D. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 0)$

22. Cho $f(x,y)=x^2y+y^3$. Tính $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)$.

A. $2$

B. $1$

C. $3$

D. $4$

23. Tìm cực trị của hàm số $f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y$.

A. Hàm số có cực đại tại (-1,-1) và cực tiểu tại (1,1)

B. Hàm số có cực đại tại (1,1) và cực tiểu tại (-1,-1)

C. Hàm số có cực đại tại (-1,1) và cực tiểu tại (1,-1)

D. Hàm số có cực đại tại (1,-1) và cực tiểu tại (-1,1)

24. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Nếu $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ thì:

A. Chuỗi phân kỳ

B. Chuỗi hội tụ

C. Không kết luận được

D. Chuỗi hội tụ tuyệt đối

25. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ của hàm số $f(x, y) = x^3 y^2 + x \sin(y)$.

A. $6x^2 y + \cos(y)$

B. $6xy + \cos(y)$

C. $3x^2 y + \cos(y)$

D. $3x^2 y - \sin(y)$

26. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y' + y = e^{-x}$.

A. $y = xe^{-x} + C e^{-x}$

B. $y = e^{-x} + C e^{-x}$

C. $y = x + C e^{-x}$

D. $y = xe^{x} + C e^{-x}$

27. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

A. $1$

B. $0$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

28. Điều kiện cần và đủ để hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ là:

A. $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) \neq 0$

B. $f'(x_0) = 0$

C. $f'(x_0) \neq 0$

D. $f''(x_0) = 0$

29. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}$. Tính $f'(0)$.

A. $0$

B. $1$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

30. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y'' - 4y' + 4y = 0$.

A. $y = (C_1 + C_2 x) e^{2x}$

B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$

C. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$

D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x}$