Đề 10 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$.

A. $\frac{32}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{64}{3}$

D. $\frac{8}{3}$

2. Tính $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\sqrt{\pi}$

B. $\pi$

C. 1

D. 2

3. Cho phương trình vi phân $y'' + y = 0$. Tìm nghiệm tổng quát.

A. $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$

B. $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$

C. $y = C_1 \cos(x) + C_2 x \cos(x)$

D. $y = C_1 \sin(x) + C_2 x \sin(x)$

4. Cho $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. Tính $A^n$.

A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & 2n \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n^2 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

5. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(x^2 + 1)$.

A. $\frac{2x}{x^2 + 1}$

B. $\frac{1}{x^2 + 1}$

C. $\frac{2}{x^2 + 1}$

D. $\frac{x}{x^2 + 1}$

6. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$ và $x = 1$ quanh trục $Ox$.

A. $\frac{\pi}{5}$

B. $\frac{\pi}{3}$

C. $\pi$

D. $\frac{2\pi}{5}$

7. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $\mathbb{R}$

B. $(-1, 1)$

C. $[-1, 1]$

D. $\emptyset$

8. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$

B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$

C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$

D. $(1, 1)$ và $(-1, -1)$

9. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{nếu } x \neq 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$. Hàm số này có đạo hàm tại $x = 0$ không?

A. Có, và $f'(0) = 0$

B. Có, và $f'(0) = 1$

C. Không

D. Có, và $f'(0) = -1$

10. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = e^x$.

A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

B. $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

D. $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$

11. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.

A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$

B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$

C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$

D. $\vec{n} = (1, -1, 3)$

12. Cho $z_1 = 1 + i$ và $z_2 = 2 - i$. Tính $z_1 \cdot z_2$.

A. $3 + i$

B. $1 + 3i$

C. $2 - i$

D. $3 - i$

13. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.

A. $\left(-\infty, 1\right)$ và $\left(3, +\infty\right)$

B. $\left(1, 3\right)$

C. $\left(-\infty, -3\right)$ và $\left(-1, +\infty\right)$

D. $\left(-3, -1\right)$

14. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm định thức của ma trận $A$.

A. -2

B. 2

C. 10

D. -10

15. Giải phương trình $y'' - 4y' + 4y = 0$.

A. $y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$

B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$

C. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$

D. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$

16. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $2\pi$

B. $\pi$

C. $4\pi$

D. 0

17. Cho hàm số $f(x, y) = xy$. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. 1

B. 0

C. $x$

D. $y$

18. Cho chuỗi số $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?

A. $p > 1$

B. $p < 1$

C. $p \ge 1$

D. $p \le 1$

19. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 2)$

B. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 2)$

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(-1, -2)$

D. Hàm số đạt cực đại tại $(-1, -2)$

20. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \arctan(x)$.

A. $\frac{1}{1 + x^2}$

B. $\frac{1}{1 - x^2}$

C. $\frac{-1}{1 + x^2}$

D. $\frac{-1}{1 - x^2}$

21. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

22. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại $(1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1)$.

A. $2\sqrt{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. 2

D. 4

23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.

A. $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

24. Tìm giới hạn của dãy số $a_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + n + 3}$ khi $n \rightarrow \infty$.

A. $\frac{1}{2}$

B. 0

C. 1

D. $\infty$

25. Tính tích phân $\int_0^1 x e^x dx$.

A. $e - 1$

B. 1

C. $e + 1$

D. $2e$

26. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$.

A. $e$

B. 1

C. 0

D. $\infty$

27. Tìm nghiệm của phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$.

A. $-1 \pm 2i$

B. $1 \pm 2i$

C. $-1 \pm i$

D. $1 \pm i$

28. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

A. 1

B. 0

C. $\infty$

D. -1

29. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$.

A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$

B. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$

C. $y = e^{-x} + C$

D. $y = e^{-2x} + C$

30. Giải bất phương trình $|x - 2| < 3$.

A. $-1 < x < 5$

B. $x 5$

C. $x < 5$

D. $x > -1$