Category:
Trắc nghiệm Chân trời Toán học 11 bài 2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Tags:
Bộ đề 1
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).
Vì SA \perp (ABCD), SA = a, ABCD là hình vuông cạnh a. Ta cần tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). Ta có thể sử dụng công thức tính thể tích hoặc tìm chân đường vuông góc từ B xuống mặt phẳng (SCD). Xét mặt phẳng (SBC), SB = SC = $\sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Tam giác SBC cân tại S. Kẻ SH vuông góc với BC (với H là trung điểm BC). SH = $\sqrt{SB^2 - BH^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - (a/2)^2} = \sqrt{2a^2 - a^2/4} = \sqrt{7a^2/4} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$. Ta có thể nhận thấy rằng mặt phẳng (SBC) và (SCD) có chung đường thẳng SC. Ta có thể sử dụng phương pháp thể tích. Thể tích khối chóp S.BCD = $\frac{1}{3} \times Area(BCD) \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} a^2 \times a = \frac{a^3}{6}$. Thể tích khối chóp S.ABCD = $\frac{1}{3} \times Area(ABCD) \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3}$. Ta cần tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). Xét tam giác SCD. SD = $\sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. SC = $a\sqrt{2}$. CD = a. Diện tích tam giác SCD = $\frac{1}{2} \times CD \times h$, với h là chiều cao từ S xuống CD. Do SA \perp CD, nên tam giác SCD có SA là chiều cao nếu CD là đáy và A trùng D. Nhưng SA không vuông góc với CD. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Ta cần tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). Ta có thể tìm một mặt phẳng chứa B và vuông góc với (SCD). Ta có thể tìm chân đường vuông góc từ B xuống (SCD). Xét tam giác SBC và SCD. SB = SC = SD = $a\sqrt{2}$. Tam giác SBC, SCD, SBD đều là các tam giác cân. Ta có thể tính diện tích tam giác SCD. CD = a. Kẻ đường cao từ S xuống CD. Gọi M là trung điểm CD. SM = $\sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{5a^2/4} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. Diện tích tam giác SCD = $\frac{1}{2} \times CD \times SM = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{5}}{2} = \frac{a^2\sqrt{5}}{4}$. Thể tích khối chóp B.SCD = Thể tích khối chóp S.BCD - Thể tích khối chóp S.BCM (nếu M nằm trên BD). Cách khác: Sử dụng thể tích S.ABCD. Thể tích S.ABCD = $\frac{a^3}{3}$. Thể tích S.BCD = $\frac{1}{2}$ Thể tích S.ABCD = $\frac{a^3}{6}$. Thể tích S.ACD = $\frac{1}{2}$ Thể tích S.ABCD = $\frac{a^3}{6}$. Ta cần tính khoảng cách từ B đến (SCD). Ta có thể tính thể tích của khối chóp có đáy là (SCD) và đỉnh là B. Thể tích B.SCD = $\frac{1}{3} \times Area(SCD) \times h_B$, với $h_B$ là khoảng cách từ B đến (SCD). Ta đã có Area(SCD) = $\frac{a^2\sqrt{5}}{4}$. Vậy $h_B = \frac{3 V_{B.SCD}}{Area(SCD)}$. Ta cần tính $V_{B.SCD}$. Ta có thể coi S là đỉnh, đáy là BCD. $V_{S.BCD} = \frac{a^3}{6}$. Ta có thể tính thể tích S.ABC = $\frac{a^3}{3}$. Ta có thể tính thể tích S.ABD = $\frac{a^3}{3}$. Ta cần tính thể tích B.SCD. Ta có thể tính thể tích S.BCD = $\frac{1}{3} \times Area(BCD) \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6}$. Ta cần tính thể tích B.SCD. Ta có thể dùng công thức tỉ lệ thể tích. Đặt h là khoảng cách từ B đến (SCD). Ta có thể tìm một mặt phẳng chứa B và vuông góc với (SCD). Ta có thể dùng phép chiếu. Xét mặt phẳng (SAC). SA = AC = SC = $a\sqrt{2}$. Tam giác SAC là tam giác đều. SA \perp AC. SA \perp AB. Tam giác SAB vuông tại A. SB = $a\sqrt{2}$. Tam giác SAD vuông tại A. SD = $a\sqrt{2}$. Tam giác SCD: SC = SD = $a\sqrt{2}$, CD = a. Kẻ SM vuông góc CD (M là trung điểm CD). SM = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Diện tích SCD = $\frac{a^2\sqrt{5}}{4}$. Ta cần khoảng cách từ B đến (SCD). Ta có thể đặt hệ trục tọa độ. A = (0,0,0), B = (a,0,0), D = (0,a,0), C = (a,a,0), S = (0,0,a). Mặt phẳng (SCD) đi qua S=(0,0,a), C=(a,a,0), D=(0,a,0). Một vector pháp tuyến của (SCD) là $\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD}$. $\vec{SC} = (a, a, -a)$. $\vec{SD} = (0, a, -a)$. $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-a^2 + a^2) - \mathbf{j}(-a^2 - 0) + \mathbf{k}(a^2 - 0) = (0, a^2, a^2)$. Ta có thể chọn vector pháp tuyến là $(0, 1, 1)$. Phương trình mặt phẳng (SCD) là $0(x-0) + 1(y-0) + 1(z-a) = 0$, tức là $y + z - a = 0$. Khoảng cách từ B=(a,0,0) đến mặt phẳng $y + z - a = 0$ là $d = \frac{|0 + 0 - a|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Ket luan: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
