1. Tính tích phân $\int_0^{\pi} \sin(x) dx$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $-1$
2. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
C. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
D. $(1, 0)$ và $(0, -1)$
3. Tính $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$.
A. $0$
B. $1$
C. $e$
D. $\infty$
4. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
5. Cho phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Phương trình này biểu diễn hình gì?
A. Đường tròn
B. Mặt cầu
C. Elip
D. Hyperboloid
6. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
A. $x = 1, y = 2$
B. $x = 2, y = 1$
C. $x = 2, y = 2$
D. $x = 1, y = 1$
7. Tính $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $0$
B. $1$
C. $\sqrt{\pi}$
D. $\pi$
8. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
9. Tính đạo hàm của hàm số $y = x^x$ với $x > 0$.
A. $x^x$
B. $x x^{x-1}$
C. $x^x(\ln x + 1)$
D. $x(\ln x + 1)$
10. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.
A. Cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=4$
B. Cực tiểu tại $x=0$, cực đại tại $x=4$
C. Cực đại tại $x=-4$, cực tiểu tại $x=0$
D. Không có cực trị
11. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{5}$
12. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $\det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch
B. Nếu $\det(A) \neq 0$ thì $A$ không khả nghịch
C. Nếu $\det(A) = 0$ thì $A$ không khả nghịch
D. $\det(A) = 0$ luôn đúng
13. Tìm đạo hàm của hàm số $y = \arctan(x)$.
A. $\frac{1}{1 + x^2}$
B. $\frac{1}{1 - x^2}$
C. $\frac{-1}{1 + x^2}$
D. $\frac{-1}{1 - x^2}$
14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1xe^x + C_2e^x$
D. $y = C_1\cos(x) + C_2\sin(x)$
15. Tìm khai triển Taylor của hàm số $f(x) = \sin(x)$ tại $x = 0$.
A. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
B. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
C. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
D. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
16. Cho hàm số $f(x) = x^3$. Tính tích phân $\int_0^2 f(x) dx$.
A. $2$
B. $4$
C. $8$
D. $16$
17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y` + 2y = 0$.
A. $y = Ce^{-2x}$
B. $y = Ce^{2x}$
C. $y = C\sin(2x)$
D. $y = C\cos(2x)$
18. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + y = e^{-x}$.
A. $y = xe^{-x} + C$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = x + Ce^{-x}$
D. $y = x + C$
19. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
20. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
21. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x, y) = xy$ trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
22. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tính định thức của ma trận $A$.
A. $-2$
B. $2$
C. $7$
D. $-7$
23. Giải phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$ trên tập số phức.
A. $-1 \pm 2i$
B. $1 \pm 2i$
C. $-1 \pm i$
D. $1 \pm i$
24. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không hội tụ
25. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
A. Không có cực trị
B. Cực tiểu tại $(1, 2)$
C. Cực đại tại $(1, 2)$
D. Cực tiểu tại $(-1, -2)$
26. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2$ và $g(x, y) = x + y - 1 = 0$. Tìm cực trị của $f$ với điều kiện $g(x, y) = 0$.
A. Không có cực trị
B. Có cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Có cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
D. Có cực tiểu tại $(1, 0)$
27. Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = \ln(\sin(x))$.
A. $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
B. $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
C. $\cos(x)$
D. $\sin(x)$
28. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x}$.
A. $2xe^{x^2 + y^2}$
B. $2ye^{x^2 + y^2}$
C. $e^{x^2 + y^2}$
D. $4xye^{x^2 + y^2}$
29. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$. Xét tính khả vi của $f(x)$ tại $x = 0$.
A. Không khả vi
B. Khả vi và $f`(0) = 0$
C. Khả vi và $f`(0) = 1$
D. Khả vi và $f`(0)$ không tồn tại
30. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (2, -1, 5)$
