1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm $f(x, y) = xy$ trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $\frac{1}{4}$
D. $2$
2. Tính tích phân $\int_0^{\pi} \int_0^{\sin x} y dy dx$.
A. $\frac{\pi}{8}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
3. Tính tích phân bội ba $\iiint_V dV$, với $V$ là hình hộp chữ nhật $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 3$.
A. $6$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
4. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. Không có điểm dừng
D. $(0, 0)$
5. Tìm giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. Không tồn tại
B. $0$
C. $1$
D. $\frac{1}{2}$
6. Tính tích phân đường loại 2 $\int_C x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$ lấy theo chiều dương.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
7. Tính tích phân $\int_C (x^2 + y^2) dx + 2xy dy$ với $C$ là đường cong bất kỳ nối điểm $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $1$
8. Tìm thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt $z = x^2 + y^2$ và mặt phẳng $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
9. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y`` - y = x$ với điều kiện $y(0) = 0$ và $y`(0) = 1$.
A. $-x - e^x + e^{-x}$
B. $-x + e^x - e^{-x}$
C. $-x + e^x$
D. $-x - e^{-x}$
10. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $e^{x^2 + y^2}$
C. $2xe^{x^2 + y^2}$
D. $2ye^{x^2 + y^2}$
11. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$.
A. $xe^{-x} + C e^{-x}$
B. $e^{-x} + C$
C. $xe^x + C$
D. $e^x + C e^{-x}$
12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
13. Cho hàm $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm điểm cực đại của hàm số.
A. $(-1, -1)$
B. $(1, 1)$
C. $(1, -1)$
D. $(-1, 1)$
14. Tính tích phân mặt $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $4\pi$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\pi$
15. Tính tích phân đường loại 1 $\int_C (x + y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(1, 1)$.
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$
17. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{15}$
18. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$. Tính $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $-\pi$
19. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là hình vuông có các đỉnh $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$, và $(0, 1)$.
A. $1$
B. $2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
20. Cho hàm số $f(x, y) = x^2 - y^2$. Tìm điểm dừng của hàm số này.
A. $(0, 0)$
B. $(1, 1)$
C. $(1, -1)$
D. Không có điểm dừng
21. Tính diện tích của hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
A. $\pi ab$
B. $\pi (a+b)$
C. $2\pi ab$
D. $\frac{\pi}{2} ab$
22. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $y = x^2$, $y = 0$, và $x = 1$ quanh trục $Ox$.
A. $\frac{\pi}{5}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{2}$
23. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số có cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
B. Hàm số có cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số có cực tiểu tại $(1, 0)$
24. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy$ trên miền $x^2 + y^2 \le 4$.
A. $0$
B. $4$
C. $-4$
D. $2$
25. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $e$
26. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$.
A. $[-1, 1)$
B. $(-1, 1)$
C. $[-1, 1]$
D. $(-\infty, \infty)$
27. Tính divergence của trường vector $\vec{F}(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2)$ tại điểm $(1, 1, 1)$.
A. $6$
B. $3$
C. $2$
D. $1$
28. Tìm diện tích mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.
A. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{2} (5\sqrt{5} - 1)$
D. $\pi (5\sqrt{5} - 1)$
29. Tính $\nabla f$ (gradient) của hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ tại điểm $(1, 1, 1)$.
A. $(2, 2, 2)$
B. $(1, 1, 1)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(3, 3, 3)$
30. Tính tích phân $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
