Category:
Trắc nghiệm Chân trời Toán học 11 bài 4 Khoảng cách trong không gian
Tags:
Bộ đề 1
7. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh $a$. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
Xét tam giác ABB vuông tại B, AB = $a$, BB = $a$. Xét tam giác ABC vuông tại B, AB = $a$, BC = $a$. Xét tam giác BCC vuông tại C, BC = $a$, CC = $a$. Đường thẳng BC nằm trên mặt phẳng BCCB. Khoảng cách từ A đến BC. Xét tam giác ABB vuông tại B, AB = $a$, BB = $a$. Xét mặt phẳng BCCB. Ta có AB vuông góc với BC và BC. Xét tam giác ABC, AB=BC=a. Xét tam giác BCC vuông tại C, BC=a, CC=a. Trong mặt phẳng BCCB, xét tam giác BCC có BC = a, CC = a. BC = $\sqrt{BC^2 + CC^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Xét tam giác ABB vuông tại B. AB = $a$. Xét tam giác ABC vuông tại C. AC = $\sqrt{AB^2 + BC^2 + CC^2} = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$. Xét tam giác ABC. AB = $a\sqrt{2}$, AC = $a\sqrt{2}$, BC = $a\sqrt{2}$. Tam giác ABC vuông tại B. AB = $a\sqrt{2}$. AC = $a\sqrt{3}$. BC = $a\sqrt{2}$. Xét mặt phẳng (ABBA). Đường thẳng BC không nằm trong mặt phẳng này. Xét mặt phẳng (BCCB). Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng này. Điểm A không thuộc mặt phẳng này. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCCB) là AB = $a$. Xét tam giác ABC. AB = $a\sqrt{2}$, AC = $a\sqrt{2}$, BC = $a\sqrt{2}$. Tam giác ABC là tam giác đều. Kẻ AH vuông góc với BC. Trong tam giác đều ABC với cạnh $a\sqrt{2}$, đường cao AH = $\frac{(a\sqrt{2})\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Đây là khoảng cách từ A tới BC nếu BC thuộc mặt phẳng chứa A và tam giác ABC. Tuy nhiên, ta cần xét trong không gian. Xét tam giác ABB vuông tại B. AB=$a$, BB=$a$. Xét tam giác ABC vuông tại C. AC = $\sqrt{AB^2+BC^2+CC^2} = a\sqrt{3}$. Xét tam giác ABC. AB=$a\sqrt{2}$, AC=$a\sqrt{2}$, BC=$a\sqrt{2}$. Tam giác ABC là tam giác đều. Kẻ AH vuông góc BC. AH = $\frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Đây là khoảng cách từ A đến BC nếu BC nằm trong mặt phẳng đó. Thực chất, xét hình chiếu. Ta có AB vuông góc BC, AB vuông góc BB. AB vuông góc mặt phẳng BCCB. Do đó AB vuông góc mọi đường trong mặt phẳng đó, kể cả BC. Vậy khoảng cách từ A đến BC chính là AB. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là độ dài đoạn thẳng từ A vuông góc với BC. Xét tam giác ABB vuông tại B. AB = $a$, BB = $a$. Xét tam giác ABC vuông tại C. AC = $\sqrt{AB^2 + BC^2 + CC^2} = a\sqrt{3}$. Xét tam giác ABC. AB = $a\sqrt{2}$, AC = $a\sqrt{2}$, BC = $a\sqrt{2}$. Tam giác ABC là tam giác đều. Kẻ AH vuông góc BC. AH = $\frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Đây là khoảng cách nếu A, B, C đồng phẳng và AH vuông góc BC. Tuy nhiên, trong hình lập phương, AB vuông góc với mặt phẳng (BCCB). Do đó AB vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng này, bao gồm BC. Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng BC chính là độ dài đoạn AB = $a$. Kết luận Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là $a$.
