1. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (2xy, x^2 + 3y^2)$. Tính tích phân đường $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ từ (0, 0) đến (1, 1) dọc theo đường thẳng $y = x$.
2. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. (1, 2)
B. (0, 0)
C. (2, 4)
D. (-1, -2)
3. Cho hàm số $u = f(x, y)$, với $x = r\cos(\theta)$ và $y = r\sin(\theta)$. Tính $\frac{\partial u}{\partial r}$.
A. $\frac{\partial u}{\partial x}\cos(\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}\sin(\theta)$
B. $\frac{\partial u}{\partial x}\sin(\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}\cos(\theta)$
C. $\frac{\partial u}{\partial x}r\cos(\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}r\sin(\theta)$
D. $\frac{\partial u}{\partial x}r\sin(\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}r\cos(\theta)$
4. Cho $\vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))$ là một trường vector bảo toàn. Điều kiện nào sau đây là đúng?
A. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
B. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$
C. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2} = 0$
D. $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = 0$
5. Cho hàm số $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm (1, 1, 1) theo hướng của vector $\vec{v} = (1, 2, 3)$.
A. $\frac{6\sqrt{14}}{7}$
B. $\frac{3\sqrt{14}}{7}$
C. $\frac{12\sqrt{14}}{7}$
D. $\frac{\sqrt{14}}{7}$
6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$
B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x)$
D. $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$
7. Tìm thể tích của hình cầu có bán kính R.
A. $\frac{4}{3}\pi R^3$
B. $\pi R^2$
C. $4\pi R^2$
D. $2\pi R$
8. Tính $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx$.
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $2\pi$
D. 0
9. Cho hàm số $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?
A. Không liên tục
B. Liên tục
C. Không xác định
D. Chỉ liên tục theo một hướng
10. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. (0, 0) và (1, 1)
B. (0, 0) và (-1, -1)
C. (1, -1) và (-1, 1)
D. Không có điểm dừng
11. Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ thỏa mãn điều kiện $z \ge 0$.
A. Nửa trên của mặt cầu đơn vị
B. Toàn bộ mặt cầu đơn vị
C. Hình tròn đơn vị
D. Đường tròn đơn vị
12. Cho $\vec{F} = (y, -x, z)$. Tính curl của $\vec{F}$.
A. $(0, 0, -2)$
B. $(0, 0, 2)$
C. $(1, -1, 1)$
D. Không xác định
13. Tìm giới hạn của hàm số $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$ khi $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ dọc theo đường $y = x^2$.
A. 0
B. Không tồn tại
C. 1/2
D. 1
14. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$ với $\vec{F} = (x, y, z)$ và S là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $\frac{8\pi}{3}$
C. $4\pi$
D. $\pi$
15. Tìm diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\pi\sqrt{2}$
B. $\pi\sqrt{3}$
C. $2\pi$
D. $\sqrt{2}$
16. Tính $\iint_D xy dA$, với D là miền giới hạn bởi $y = x$, $y = 2x$, và $x = 2$.
17. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với C là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $3\pi$
18. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Cực tiểu tại (1/2, 1/2)
B. Cực đại tại (1/2, 1/2)
C. Không có cực trị
D. Cực tiểu tại (1, 0)
19. Tìm công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong tham số $x = f(t)$, $y = g(t)$ với $a \le t \le b$ và $g(t) \ge 0$.
A. $\int_a^b g(t)f`(t) dt$
B. $\int_a^b f(t)g`(t) dt$
C. $\int_a^b g(t) dt$
D. $\int_a^b f(t) dt$
20. Tìm volume của khối hộp chữ nhật xác định bởi $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 3$.
21. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = 4$.
A. 32/3
B. 16/3
C. 64/3
D. 8/3
22. Tính $\oint_C (x^2 - 2y) dx + (2x + y^2) dy$ với C là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$ theo chiều dương.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. 0
23. Tính tích phân bội ba $\iiint_V x dV$, với V là miền xác định bởi $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x$, và $0 \le z \le x + y$.
A. 7/24
B. 1/8
C. 5/24
D. 1/4
24. Tính diện tích hình tròn có bán kính R sử dụng tích phân hai lớp.
A. $\pi R^2$
B. $2\pi R$
C. $4\pi R^2$
D. $\frac{4}{3}\pi R^3$
25. Cho hàm số $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm đạo hàm riêng cấp hai $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $2e^{x^2 + y^2}$
C. $4e^{x^2 + y^2}$
D. $4x^2y^2e^{x^2 + y^2}$
26. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2yz + xy^2z + xyz^2$ tại điểm (1, 1, 1).
A. $(4, 4, 4)$
B. $(2, 2, 2)$
C. $(3, 3, 3)$
D. $(1, 1, 1)$
27. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. 1/3
B. 2/5
C. 1/2
D. 3/8
28. Cho $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Xác định loại điểm dừng (0, 0).
A. Điểm yên ngựa
B. Cực tiểu
C. Cực đại
D. Không xác định
29. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2)$. Tính divergence của $\vec{F}$ tại điểm (1, 2, 3).
30. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
