1. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
A. $1, 2$
B. $1, 3$
C. $2, 3$
D. $0, 1$
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.
A. $(-1, 1)$
B. $[-1, 1]$
C. $\mathbb{R}$
D. $\emptyset$
3. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\sqrt{\pi}$
B. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
C. $\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y` = \frac{x}{y}$.
A. $y = \pm \sqrt{x^2 + C}$
B. $y = \pm \sqrt{x + C}$
C. $y = x^2 + C$
D. $y = x + C$
5. Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \ln(\sin(x))$.
A. $\tan(x)$
B. $\cot(x)$
C. $\sec(x)$
D. $\csc(x)$
6. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $x + y + z = 6$, $x - y + z = 2$, $2x + y - z = 1$.
A. $(1, 2, 3)$
B. $(2, 3, 1)$
C. $(1, 3, 2)$
D. $(2, 1, 3)$
7. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo của $A$.
A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
8. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(-1, -1)$ và $(0, 0)$
B. $(1, 1)$ và $(0, 0)$
C. $(1, -1)$ và $(0, 0)$
D. $(-1, 1)$ và $(0, 0)$
9. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x + y$.
A. Cực đại tại $(0, 0)$
B. Cực tiểu tại $(0, 0)$
C. Cực tiểu tại $(-1, -1)$
D. Cực tiểu tại $(-1, -1)$
10. Cho $f(x, y) = x^2 y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $2x + 2y$
B. $x^2 + y^2$
C. $4xy$
D. $2xy$
11. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{2}$
12. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
13. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.
A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$
B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$
C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$
D. $\vec{n} = (2, -1, 5)$
14. Cho hàm $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính vi phân toàn phần của $f$.
A. $df = 2x e^{x^2+y^2} dx + 2y e^{x^2+y^2} dy$
B. $df = e^{x^2+y^2} dx + e^{x^2+y^2} dy$
C. $df = 2x dx + 2y dy$
D. $df = x e^{x^2+y^2} dx + y e^{x^2+y^2} dy$
15. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{nếu } x \neq 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$. Tính $f`(0)$.
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. Không tồn tại
16. Cho hàm số $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm điểm yên ngựa của hàm số.
A. $(1,1)$
B. $(1,-1)$ và $(-1,1)$
C. $(-1,-1)$
D. $(0,0)$
17. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $3\pi$
D. $4\pi$
18. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $-\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{6}$
19. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $(1, 3)$
B. $\mathbb{R}$
C. $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$
D. $(3, +\infty)$
20. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình $y`` + y = \sin(t)$, với $y(0) = 0$ và $y`(0) = 0$.
A. $y(t) = \frac{1}{2} (\sin(t) - t \cos(t))$
B. $y(t) = \sin(t) - t \cos(t)$
C. $y(t) = \frac{1}{2} (\cos(t) - t \sin(t))$
D. $y(t) = \cos(t) - t \sin(t)$
21. Tìm transform Fourier của hàm $f(t) = e^{-|t|}$.
A. $\frac{2}{1 + \omega^2}$
B. $\frac{1}{1 + \omega^2}$
C. $\frac{2}{1 - \omega^2}$
D. $\frac{1}{1 - \omega^2}$
22. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p < 1$
B. $p \le 1$
C. $p > 1$
D. $p \ge 1$
23. Tìm góc giữa hai vector $\vec{a} = (1, 2, 3)$ và $\vec{b} = (2, -1, 1)$.
A. $\arccos(\frac{1}{\sqrt{14}})$
B. $\arccos(\frac{3}{\sqrt{14}})$
C. $\arccos(\frac{1}{\sqrt{42}})$
D. $\arccos(\frac{3}{\sqrt{42}})$
24. Giải phương trình $y`` - 3y` + 2y = 0$.
A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$
B. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$
D. $y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}$
25. Tìm điều kiện để tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha}$ hội tụ.
A. $\alpha > 1$
B. $\alpha \ge 1$
C. $\alpha < 1$
D. $\alpha \le 1$
26. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y` + 2y = e^{-x}$.
A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
B. $y = e^{-x} + C$
C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
D. $y = e^{-x} + Cx$
27. Tìm giới hạn của dãy số $a_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + n + 1}$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $1$
C. $\frac{1}{2}$
D. $0$
28. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$.
A. $e$
B. $1/e$
C. $1$
D. $\infty$
29. Tính $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n^2} e^{-n}$.
A. $0$
B. $1$
C. $e$
D. $\infty$
30. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{5}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
