Đề 7 – Đề thi, câu hỏi trắc nghiệm online Toán cao cấp

1. Tìm eigenvalue của ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

A. $1, 2$

B. $1, 3$

C. $2, 3$

D. $0, 1$

2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$.

A. $(-1, 1)$

B. $[-1, 1]$

C. $\mathbb{R}$

D. $\emptyset$

3. Tính $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.

A. $\sqrt{\pi}$

B. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

C. $\pi$

D. $\frac{\pi}{2}$

4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y' = \frac{x}{y}$.

A. $y = \pm \sqrt{x^2 + C}$

B. $y = \pm \sqrt{x + C}$

C. $y = x^2 + C$

D. $y = x + C$

5. Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \ln(\sin(x))$.

A. $\tan(x)$

B. $\cot(x)$

C. $\sec(x)$

D. $\csc(x)$

6. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau: $x + y + z = 6$, $x - y + z = 2$, $2x + y - z = 1$.

A. $(1, 2, 3)$

B. $(2, 3, 1)$

C. $(1, 3, 2)$

D. $(2, 1, 3)$

7. Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

A. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

B. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

C. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

D. $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

8. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.

A. $(-1, -1)$ và $(0, 0)$

B. $(1, 1)$ và $(0, 0)$

C. $(1, -1)$ và $(0, 0)$

D. $(-1, 1)$ và $(0, 0)$

9. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x + y$.

A. Cực đại tại $(0, 0)$

B. Cực tiểu tại $(0, 0)$

C. Cực tiểu tại $(-1, -1)$

D. Cực tiểu tại $(-1, -1)$

10. Cho $f(x, y) = x^2 y + xy^2$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.

A. $2x + 2y$

B. $x^2 + y^2$

C. $4xy$

D. $2xy$

11. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{2}$

12. Tìm hạng của ma trận $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

13. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$.

A. $\vec{n} = (2, -1, 3)$

B. $\vec{n} = (2, 1, 3)$

C. $\vec{n} = (-2, 1, -3)$

D. $\vec{n} = (2, -1, 5)$

14. Cho hàm $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính vi phân toàn phần của $f$.

A. $df = 2x e^{x^2+y^2} dx + 2y e^{x^2+y^2} dy$

B. $df = e^{x^2+y^2} dx + e^{x^2+y^2} dy$

C. $df = 2x dx + 2y dy$

D. $df = x e^{x^2+y^2} dx + y e^{x^2+y^2} dy$

15. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{nếu } x \neq 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$. Tính $f'(0)$.

A. $0$

B. $1$

C. $\infty$

D. Không tồn tại

16. Cho hàm số $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y$. Tìm điểm yên ngựa của hàm số.

A. $(1,1)$

B. $(1,-1)$ và $(-1,1)$

C. $(-1,-1)$

D. $(0,0)$

17. Tính tích phân đường $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.

A. $\pi$

B. $2\pi$

C. $3\pi$

D. $4\pi$

18. Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $-\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{6}$

19. Cho hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.

A. $(1, 3)$

B. $\mathbb{R}$

C. $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

D. $(3, +\infty)$

20. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình $y'' + y = \sin(t)$, với $y(0) = 0$ và $y'(0) = 0$.

A. $y(t) = \frac{1}{2} (\sin(t) - t \cos(t))$

B. $y(t) = \sin(t) - t \cos(t)$

C. $y(t) = \frac{1}{2} (\cos(t) - t \sin(t))$

D. $y(t) = \cos(t) - t \sin(t)$

21. Tìm transform Fourier của hàm $f(t) = e^{-|t|}$.

A. $\frac{2}{1 + \omega^2}$

B. $\frac{1}{1 + \omega^2}$

C. $\frac{2}{1 - \omega^2}$

D. $\frac{1}{1 - \omega^2}$

22. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?

A. $p < 1$

B. $p \le 1$

C. $p > 1$

D. $p \ge 1$

23. Tìm góc giữa hai vector $\vec{a} = (1, 2, 3)$ và $\vec{b} = (2, -1, 1)$.

A. $\arccos(\frac{1}{\sqrt{14}})$

B. $\arccos(\frac{3}{\sqrt{14}})$

C. $\arccos(\frac{1}{\sqrt{42}})$

D. $\arccos(\frac{3}{\sqrt{42}})$

24. Giải phương trình $y'' - 3y' + 2y = 0$.

A. $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

B. $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$

C. $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$

D. $y = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x}$

25. Tìm điều kiện để tích phân suy rộng $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha}$ hội tụ.

A. $\alpha > 1$

B. $\alpha \ge 1$

C. $\alpha < 1$

D. $\alpha \le 1$

26. Tìm nghiệm của phương trình vi phân $y' + 2y = e^{-x}$.

A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$

B. $y = e^{-x} + C$

C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$

D. $y = e^{-x} + Cx$

27. Tìm giới hạn của dãy số $a_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + n + 1}$.

A. $\frac{1}{4}$

B. $1$

C. $\frac{1}{2}$

D. $0$

28. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$.

A. $e$

B. $1/e$

C. $1$

D. $\infty$

29. Tính $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n^2} e^{-n}$.

A. $0$

B. $1$

C. $e$

D. $\infty$

30. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{5}{3}$

D. $\frac{1}{3}$