Category:
[Cánh diều] Trắc nghiệm Toán học 10 Bài tập cuối chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác, véc tơ
Tags:
Bộ đề 1
3. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là gì?
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai véc tơ được tạo từ ba điểm này có cùng phương. Cụ thể, nếu A, B, C thẳng hàng, thì véc tơ \(\vec{AB}\) và véc tơ \(\vec{AC}\) phải cùng phương, nghĩa là tồn tại một số thực k sao cho \(\vec{AB} = k\vec{AC}\). Nếu \(k=0\), thì \(\vec{AB}=\vec{0}\) tức là A trùng B, điều này không xảy ra nếu A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo cách thông thường. Tuy nhiên, nếu \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) mà \(k=0\) thì B=A, không phản ánh 3 điểm phân biệt thẳng hàng. Nếu B nằm giữa A và C, thì \(\vec{AB}\) cùng hướng \(\vec{AC}\), \(k>0\). Nếu A nằm giữa B và C, thì \(\vec{AB}\) ngược hướng \(\vec{AC}\), \(k<0\). Nếu C nằm giữa A và B, thì \(\vec{AC}\) cùng hướng \(\vec{AB}\), \(k=1/k\) với \(\vec{AB}=k\vec{AC}\). Lựa chọn \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\) bao gồm cả trường hợp A, B, C thẳng hàng và khác nhau. Nếu \(k=1\) thì A=C. Nếu \(k=0\) thì A=B. Do đó, điều kiện \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\) là điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng và A, B, C đôi một khác nhau. Lựa chọn \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) là đúng. Tuy nhiên, nếu A, B, C phân biệt, thì \(k\neq 0\) và \(k\neq 1\) (trừ khi A=C, điều này đã loại trừ). Để bao quát mọi trường hợp thẳng hàng với A, B, C phân biệt, điều kiện là \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\). Nếu xét \(\vec{AC} = k\vec{BC}\), thì \(k\neq 1\) để C khác B. Nếu \(k=0\) thì A=C. Nếu A, B, C phân biệt và thẳng hàng, thì \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) cùng phương, tức là \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\). Nếu \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) và \(k=0\) thì \(\vec{AB} = \vec{0}\) tức là A=B, vi phạm giả thiết phân biệt. Vì vậy, \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\) là điều kiện đúng. Tuy nhiên, xét lựa chọn 4: \(\vec{AC} = k\vec{BC}\) với \(k \neq 1\). Nếu A, B, C thẳng hàng, thì \(\vec{AC}\) và \(\vec{BC}\) cùng phương. \(\vec{AC} = k\vec{BC}\). Nếu \(k=1\), thì \(\vec{AC} = \vec{BC}\) suy ra A=B, vi phạm giả thiết. Do đó \(k \neq 1\). Nếu \(k=0\), thì \(\vec{AC} = \vec{0}\) suy ra A=C, vi phạm giả thiết. Vậy \(\vec{AC} = k\vec{BC}\) với \(k \neq 0\) và \(k \neq 1\) là đúng. Lựa chọn 3 \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\) bao gồm trường hợp A=C nếu \(k=1\). Tuy nhiên, trong các lựa chọn, \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\) là phát biểu phổ biến nhất cho sự cùng phương. Nếu \(k=1\) thì A=C, nhưng điều này vẫn thỏa mãn tính thẳng hàng. Lựa chọn 3 là đúng nhất. Kết luận \(\vec{AB} = k\vec{AC}\) với \(k \neq 0\).
