1. Cho hàm số $f(x,y,z) = xyz$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm (1,1,1) theo hướng của vector $\vec{v} = (1,1,1)$.
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{\sqrt{3}}$
C. $\frac{3}{\sqrt{3}}$
D. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
2. Cho $\vec{F}(x, y) = (2xy, x^2 + 3y^2)$. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ với $C$ là đường thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x, y) = xy$ trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
D. $\frac{1}{4}$
4. Tính tích phân lặp $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{15}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{4}{15}$
5. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$ và $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{4}$
6. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Điểm dừng của hàm số là:
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$ và $(2, 2)$
C. $(1, 1)$ và $(2, 2)$
D. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
7. Cho hàm số $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$. Xác định tính chất điểm dừng (0,0).
A. (0,0) là điểm cực đại
B. (0,0) là điểm cực tiểu
C. (0,0) là điểm yên ngựa
D. (0,0) không phải là điểm dừng
8. Cho hàm số $f(x, y) = e^{x} \cos(y)$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $-e^{x} \sin(y)$
B. $e^{x} \sin(y)$
C. $e^{x} \cos(y)$
D. $-e^{x} \cos(y)$
9. Cho miền D là hình tròn $x^2+y^2 \le 4$. Tính tích phân $\iint_D e^{-(x^2+y^2)}dA$.
A. $\pi(1-e^{-4})$
B. $2\pi(1-e^{-4})$
C. $\pi(1+e^{-4})$
D. $2\pi(1+e^{-4})$
10. Cho tích phân $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{-y^2} dy dx$. Đổi thứ tự tích phân.
A. $\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{-y^2} dx dy$
B. $\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{-y^2} dx dy$
C. $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} e^{-x^2} dy dx$
D. $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{-x^2} dy dx$
11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $y`` + 4y = 0$.
A. $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$
B. $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$
C. $y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$
D. $y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}$
12. Tìm vector pháp tuyến của mặt $z = x^2 + y^2$ tại điểm $(1, 1, 2)$.
A. $\vec{n} = (-2, -2, 1)$
B. $\vec{n} = (2, 2, -1)$
C. $\vec{n} = (1, 1, -2)$
D. $\vec{n} = (-1, -1, 2)$
13. Cho hàm số $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3axy$. Tìm điều kiện để (0,0) là điểm yên ngựa.
A. $a = 0$
B. $a > 0$
C. $a < 0$
D. $a \neq 0$
14. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{5}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
16. Cho $\vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))$. Điều kiện để $\vec{F}$ là trường vector bảo toàn là:
A. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
B. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$
C. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2}$
D. $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 Q}{\partial x^2}$
17. Cho $\vec{F}(x,y,z) = (x,y,z)$. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với S là mặt cầu $x^2+y^2+z^2=1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $\frac{2\pi}{3}$
C. $4\pi$
D. $\frac{\pi}{3}$
18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3$, $y = 0$, $x = 1$.
A. $\frac{1}{4}$
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{4}$
19. Cho phương trình vi phân $y`` - 3y` + 2y = 0$. Tìm nghiệm tổng quát.
A. $y = C_1e^x + C_2e^{2x}$
B. $y = C_1e^{-x} + C_2e^{-2x}$
C. $y = C_1e^x + C_2xe^x$
D. $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$
20. Tính $\int_C x dy - y dx$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ theo chiều dương.
A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\frac{\pi}{4}$
21. Tính $\int_C (x^2 + y^2 + z^2) ds$, với $C$ là đường thẳng từ (0,0,0) đến (1,1,1).
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D. $3\sqrt{3}$
22. Tìm cực trị của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ và $f_{min} = \frac{1}{2}$
B. Hàm số đạt cực đại tại $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ và $f_{max} = \frac{1}{2}$
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $(1, 0)$ và $f_{min} = 1$
D. Hàm số đạt cực đại tại $(1, 0)$ và $f_{max} = 1$
23. Cho hàm số $f(x, y) = x^2y + xy^2 + x^3 + y^3$. Tính $f_{xy}(1, 1)$.
24. Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trong hình trụ $x^2 + y^2 = 1$.
A. $\pi \sqrt{2}$
B. $\pi \sqrt{3}$
C. $2 \pi$
D. $2 \pi \sqrt{2}$
25. Tìm gradient của hàm số $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ tại điểm $(1, 1, 1)$.
A. $(2, 2, 2)$
B. $(1, 1, 1)$
C. $(0, 0, 0)$
D. $(3, 3, 3)$
26. Tính $\iint_S x^2 dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy$, với S là mặt cầu $x^2+y^2+z^2=1$.
A. $\frac{4\pi}{5}$
B. $\frac{16\pi}{15}$
C. $\frac{8\pi}{3}$
D. $\frac{4\pi}{3}$
27. Tìm nghiệm riêng của phương trình $y`` - y = e^x$ với điều kiện $y(0) = 1$ và $y`(0) = 0$.
A. $-\frac{1}{2}e^{-x} + \frac{3}{4}e^{x} + \frac{1}{4}xe^{x}$
B. $\frac{1}{2}e^{-x} - \frac{3}{4}e^{x} + \frac{1}{4}xe^{x}$
C. $-\frac{1}{2}e^{-x} - \frac{3}{4}e^{x} + \frac{1}{4}xe^{x}$
D. $\frac{1}{2}e^{-x} + \frac{3}{4}e^{x} + \frac{1}{4}xe^{x}$
28. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $8\pi$
29. Cho phương trình vi phân $y` + 2y = x$. Tìm nghiệm tổng quát.
A. $y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$
B. $y = Ce^{2x} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$
C. $y = Ce^{-2x} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$
D. $y = Ce^{2x} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$
30. Cho miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$. Tính $\iint_D x dA$.
