1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $r = 2a\cos\theta$ trong tọa độ cực.
A. $\pi a^2$
B. $2\pi a^2$
C. $4\pi a^2$
D. $\frac{\pi a^2}{2}$
2. Tính $\iint_D (x + y) dA$ với $D$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = x$ và $x + y = 2$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
3. Tính $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $\vec{F} = (y, -x)$ và $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 4$ theo chiều dương.
A. $-4\pi$
B. $4\pi$
C. $-2\pi$
D. $2\pi$
4. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
C. $(0, 0)$ và $(-1, -1)$
D. $(1, 0)$ và $(-1, 0)$
5. Cho hàm $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0,0), (1,-1), (-1,1)$
B. $(0,0), (1,1), (-1,-1)$
C. $(0,0), (1,0), (-1,0)$
D. $(0,0), (0,1), (0,-1)$
6. Tính $\oint_C \frac{z}{z^2 + 1} dz$, với $C$ là đường tròn $|z| = 2$.
A. 0
B. $\pi i$
C. $2\pi i$
D. $-2\pi i$
7. Cho hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f$ trên miền $x + y + z = 1$.
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. 0
8. Tính $\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1 - xy} dx dy$.
A. $\frac{\pi^2}{6}$
B. $\frac{\pi^2}{12}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{2}$
9. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $4\pi$
D. $0$
10. Tính $\oint_C (x^2 y dx + y^2 x dy)$, với $C$ là biên của hình vuông có đỉnh $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$, $(0, 1)$, theo chiều dương.
11. Tìm vi phân toàn phần của hàm $f(x, y) = \sin(xy)$.
A. $df = y\cos(xy) dx + x\cos(xy) dy$
B. $df = \cos(xy) dx + \cos(xy) dy$
C. $df = y\sin(xy) dx + x\sin(xy) dy$
D. $df = \sin(xy) dx + \sin(xy) dy$
12. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ với điều kiện $x + y = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 0
D. 2
13. Tìm gradient của hàm $f(x, y, z) = x^2yz + xy^2z + xyz^2$.
A. $\nabla f = (2xyz + y^2z + yz^2, x^2z + 2xyz + xz^2, x^2y + xy^2 + 2xyz)$
B. $\nabla f = (2xyz, 2xyz, 2xyz)$
C. $\nabla f = (x^2yz, xy^2z, xyz^2)$
D. $\nabla f = (2x, 2y, 2z)$
14. Tính $\int_C (x^2 dx + y^2 dy)$, với $C$ là đường thẳng từ $(0,0)$ đến $(1,1)$.
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. 1
D. 0
15. Tính tích phân $\int_0^1 \int_0^x (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{15}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
16. Tính diện tích bề mặt của phần mặt phẳng $z = x + y$ nằm trên miền $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1\}$.
A. $\pi \sqrt{2}$
B. $\pi \sqrt{3}$
C. $2\pi$
D. $2\pi \sqrt{2}$
17. Cho hàm $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 0)$ theo hướng của vector $\vec{v} = (1, 1)$.
A. $e$
B. $2e$
C. $\sqrt{2} e$
D. $\frac{e}{\sqrt{2}}$
18. Tính $\iiint_E (x^2 + y^2 + z^2) dV$ với $E$ là khối cầu $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$.
A. $\frac{4\pi}{5}$
B. $\frac{4\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{5}$
D. $\frac{2\pi}{3}$
19. Cho trường vector $\vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))$. Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để $\vec{F}$ là trường vector bảo toàn?
A. $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
B. $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}$
C. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Q}{\partial y^2} = 0$
D. $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = 0$
20. Tính $\iiint_E x dV$, với $E$ là miền giới hạn bởi $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$, và $x + y + z = 1$.
A. $\frac{1}{24}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{4}$
21. Tính $\iint_S x^2 dydz + y^2 dzdx + z^2 dxdy$, với $S$ là mặt ngoài của hình hộp $0 \le x \le a$, $0 \le y \le b$, $0 \le z \le c$.
A. $\frac{abc(a+b+c)}{3}$
B. $\frac{abc}{3}$
C. $abc(a+b+c)$
D. 0
22. Cho miền $D$ giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 4$. Tính $\iint_D x dA$.
A. 0
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{32}{3}$
D. $\frac{8}{3}$
23. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3axy$. Tìm điều kiện để $f$ có cực đại, cực tiểu.
A. $a > 0$
B. $a < 0$
C. $a = 0$
D. Không có cực trị
24. Cho $f(x, y) = xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $f$ trên miền $x^2 + y^2 \le 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
D. 0
25. Tính diện tích của hình elip $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$.
A. $\pi ab$
B. $2\pi ab$
C. $\frac{\pi ab}{2}$
D. $4\pi ab$
26. Tìm công thức tính diện tích mặt $z = f(x, y)$ trên miền $D$.
A. $\iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dA$
B. $\iint_D (\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}) dA$
C. $\iint_D \sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dA$
D. $\iint_D dA$
27. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$ và $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $4\pi$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $2\pi$
28. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
29. Cho hàm $f(x,y) = x^2 + y^2 + xy$. Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
A. $(0,0)$
B. $(1,1)$
C. $(1,-1)$
D. Không có cực trị
30. Tính giới hạn $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. Không tồn tại
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
