1. Tính diện tích bề mặt của mặt $z = x^2 + y^2$ nằm dưới mặt phẳng $z = 1$.
A. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$
B. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} - 1)$
C. $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} + 1)$
D. $\frac{\pi}{3} (5\sqrt{5} + 1)$
2. Cho hàm $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Tìm đạo hàm theo hướng của $f$ tại điểm $(1, 1, 1)$ theo hướng $\vec{v} = (1, 1, 1)$.
A. $2\sqrt{3}$
B. $2$
C. $6$
D. $6\sqrt{3}$
3. Cho $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$. Tính $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$, với $C$ là đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
A. $-2\pi$
B. $2\pi$
C. $\pi$
D. $-\pi$
4. Cho $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Xác định tính chất của điểm dừng $(0,0)$.
A. Điểm yên ngựa
B. Điểm cực đại
C. Điểm cực tiểu
D. Không xác định
5. Cho hàm $f(x, y) = x^2 + y^2$ và ràng buộc $x + y = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.
A. $\frac{1}{2}$
B. $1$
C. $\frac{1}{4}$
D. $2$
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, $y = 0$, và $x = 4$.
A. $\frac{8}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{16}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
7. Cho $z = f(x, y)$, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Tính $\frac{\partial z}{\partial r}$.
A. $\frac{\partial z}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta$
B. $\frac{\partial z}{\partial x} \sin\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \cos\theta$
C. $\frac{\partial z}{\partial x} r\cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} r\sin\theta$
D. $\frac{\partial z}{\partial x} r\sin\theta + \frac{\partial z}{\partial y} r\cos\theta$
8. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} n! x^n$.
A. 0
B. 1
C. $\infty$
D. 2
9. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi $z = x^2 + y^2$ và $z = 4$.
A. $8\pi$
B. $4\pi$
C. $16\pi$
D. $2\pi$
10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{3}$
11. Cho chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$. Chuỗi này hội tụ khi nào?
A. $p > 1$
B. $p < 1$
C. $p \ge 1$
D. $p \le 1$
12. Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.
A. $-\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{6}$
C. 0
D. $\infty$
13. Cho hàm $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Tìm các điểm dừng của hàm số.
A. $(0, 0)$ và $(1, 1)$
B. $(0, 0)$
C. $(1, 1)$
D. $(0, 1)$ và $(1, 0)$
14. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)$. Tính $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, với $S$ là mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $4\pi$
D. $\pi$
15. Tính $\int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đoạn thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
A. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
16. Cho $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x, y)$.
17. Tính $\int_C y dx + x dy$, với $C$ là đường cong $y = x^2$ từ $(0, 0)$ đến $(1, 1)$.
18. Tính $\iint_D (x + y) dA$, với $D$ là miền giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$.
A. $\frac{5}{24}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{3}{8}$
19. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0$.
A. $z = f(x - y)$
B. $z = f(x + y)$
C. $z = f(xy)$
D. $z = f(\frac{x}{y})$
20. Cho $\vec{F}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$. Điều kiện để $\vec{F}$ là trường vector bảo toàn là gì?
A. $\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$
B. $\nabla \cdot \vec{F} = 0$
C. $\nabla \times \vec{F} = 0$
D. $\nabla \cdot \vec{F} = 1$
21. Tính tích phân $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x^2 + y^2) dy dx$.
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
22. Tìm cực trị của hàm $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$.
A. Cực tiểu tại (0,3)
B. Cực đại tại (0,3)
C. Cực tiểu tại (3,0)
D. Không có cực trị
23. Tìm miền xác định của hàm $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.
A. $x^2 + y^2 \le 1$
B. $x^2 + y^2 < 1$
C. $x^2 + y^2 \ge 1$
D. $x^2 + y^2 > 1$
24. Tính $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$.
A. 0
B. Không tồn tại
C. 1
D. $\infty$
25. Cho hàm $f(x, y) = \sin(x) + \cos(y)$. Tìm vi phân toàn phần của $f$.
A. $df = \cos(x) dx - \sin(y) dy$
B. $df = \cos(x) dx + \sin(y) dy$
C. $df = \sin(x) dx - \cos(y) dy$
D. $df = \sin(x) dx + \cos(y) dy$
26. Tính $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx$.
A. $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
27. Cho hàm $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$. Hàm $f$ có liên tục tại $(0, 0)$ không?
A. Có
B. Không
C. Không xác định
D. Chỉ liên tục theo một hướng
28. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n3^n}$.
A. $\left[-1, 5\right)$
B. $\left(-1, 5\right]$
C. $\left(-1, 5\right)$
D. $\left[-1, 5\right]$
29. Cho $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$. Tính $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.
A. $4xye^{x^2 + y^2}$
B. $2e^{x^2 + y^2}$
C. $4e^{x^2 + y^2}$
D. $4xy$
30. Cho hàm $f(x, y) = xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x, y)$ trên đường tròn $x^2 + y^2 = 1$.
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{4}$
D. 2
